Mon salaire est obligatoirement versé sur un compte sans intérêts dans une banque conventionnelle.
Une autre banque, disposant d’une branche islamique, propose une récompense unique (cashback) à toute personne qui transfère le versement de son salaire depuis son employeur vers cette banque ; le compte est également sans intérêts, et la récompense correspond à un pourcentage du salaire.
Cette opération est-elle licite du point de vue religieux ?

Louange à Allah et que la paix et la bénédiction soient sur Son Prophète et Messager, Mohammed, ainsi que sur sa famille et ses Compagnons :

Le fait que l’employeur verse le salaire du salarié dans une banque usuraire n’entraîne aucun péché pour ce dernier, tant que cela ne résulte pas de son consentement ni de son choix personnel. Toutefois, s’il lui est possible de transférer son salaire vers une banque islamique — comme cela semble être le cas d’après la question — il lui incombe alors de le faire.
En revanche, il ne t’est pas permis d’accepter un cadeau ou une récompense de cette banque en contrepartie du versement de ton salaire chez elle. En effet, dans ce cas, tu es considéré comme prêtant ton salaire à la banque à condition qu’elle t’accorde un avantage, ce qui n’est pas licite, conformément à la règle juridique bien connue :
« Tout prêt qui génère un profit est de l’usure (ribâ). »
Ibn ‘Abd al-Barr a dit :
« Toute augmentation dans un prêt, ou tout avantage dont bénéficie le prêteur, constitue de l’usure, même s’il ne s’agit que d’une poignée de fourrage ; et cela est interdit. » (Fin de citation)
Si toutefois une récompense t’est versée, tu dois t’en défaire en la donnant aux pauvres et aux nécessiteux.

Et Allah sait mieux.